Ah, un sujet sur la motocyclette légère 
C'est un sujet pour moi qui adore les petites pétoires 
A toi le plaisir de chevauché durant de longue ballade ton tonnerre mécanique 
Je vois qu'il y a plusieurs questions dans le message initial, je vais essayé d'apporter certains éclairages.
Tout d'abord l'assurance
Oui, il faut forcément être assuré pour ramené l'élue de ton choix à la maison.
En revanche, ça se fait très simplement sur internet ou par téléphone (c'est super rapide).
Perso, j'ai tendance à préférer des assurances spécialisées (en effet, les tarifs sont en général un peu plus compétitifs et les prestations bien ciblées pour l'usage du véhicule.
A titre d'information:
-Pour ma 125 récente: je suis chez AMV
-Pour mes pétoires plus anciennes (assurées en collection): je suis chez Retro-assurance ou CLAVEL
L'un comme l'autre, tout se passe par internet, rapide, simple, efficace.
N'hésite pas à utiliser un comparateur pour ton choix, tu verras vite ce qui est le plus intéressant.
Autre chose, la moto étant un véhicule sans protection, n'hésite pas à souscrire une garantie personnelle du conducteur. On ne sait jamais.
Ensuite, et avant de parler de la moto, l'équipement
Comme je viens de le dire, une moto (même une 50cc) est un véhicule sans protection. Une simple chute peut faire très mal et faut pas oublier qu'une 125cc peut atteindre les 100km/h sans trop de souci.
Il faut donc ne pas lésiner sur ce poste de dépense.
Il faut donc choisir avec intérêt un casque (plutôt intégral pour une vraie protection, la double visière, solaire/transparente, est une option sympa qu'on trouve même sur des casques abordables), une paire de gants renforcé, des bottes de moto (à minima, mais vraiment à minima, une paire de rangers ou grosses bottes en cuir) et un manteau homologué (plutôt cuir) avec une dorsale.
Naturellement, tout ça doit être homologué CE.
On trouve facilement tout l'équipement nécessaire sur le net ou en magasin spécialisé. Il ne faut pas hésiter à y mettre un peu d'argent.
Si le budget est serré, Leboncoin est ton ami, les motards sont des victimes de la mode et prenne soin pour la plupart de leurs équipements.
Et faut pas avoir peur de choisir du flashi, être visible, c'est un plus sécurité.
Ici, nous avons tous cet équipement à minima, même les gosses sur leur 50cc.
Ce n'est pas parce que tu es sur une petite moto que tu n'es pas exposé aux mêmes risques que les autres motards.
Enfin, la moto en elle même
Là, le monde de la moto et celui de la 125 est magique. On trouve vraiment tout type de motos et tous type de marque.
Déjà, on va vite passer sur le moteur.
On entend souvent le débat sur moteur 2 Temps/4 Temps
Faut savoir que des 2T aujourd'hui, sauf si tu veux une moto ancienne, on en trouve plus vraiment.
Il s'agit d'une technologie ancienne qui nécessite un graissage (séparé ou non).
C'est avec ce type de moteur que tu auras le plus de performances mais:
-gaffe à l'homologation de la moto (par réglementation, tu n'as pas le droit à une moto de plus de 15ch, donc même si un 2T peut sortir plus, pas de débridage),
-le bruit peu facilement faire penser à une mob,
-la fiabilité est moins bonne,
-les moteurs 2T sont un peu plus "chiants" en suivi régulier.
Tu vas donc trouver principalement des moteurs 4 temps, moins caractériel, plus sage mais avec un bruit plus feutré voir très discret et un entretien très proche de celui d'une voiture.
Technologie plus récente, tu vas trouver des motos avec des normes anti-pollution bien plus à jour. Ça peut avoir son importance suivant ou tu roules.
Les moteurs 4T plafonnent à 15ch, c'est dur avec cette techno d'aller plus haut avec 125cc. Mais c'est amplement suffisant pour se faire plaisir (le plaisir en 125 n'est pas dans la puissance 
)
Et en plus, ça consomme moins, les derniers 4t sont capables de faire du 2,5l au 100.
Ensuite, la forme de la moto.
Là, ça va dépendre de ce que tu souhaites en faire, de là ou tu roules et de ce qui te plait.
On trouve à peu près tout ce qui a été imaginé en terme de moto sur 2 roues:
-Les enduros: moto de cross, très peu sont homologuées, surtout pour le chemin, forêt etc...
Attention pour les petits gabarits, les selles sont souvent hautes.
-Les "adventures"/trail: moto avec un look baroudeur ou cross proposant un mixte entre une moto tout terrain et une routière. Elle permet de passer un peu n'importe ou, pourvu que les pneus suivent.
Attention pour les petits gabarits, les selles sont souvent hautes.
-Les roadster: assez classique (même si ces dernières années, on trouve des designs de roadster de plus en plus osé), moto routière, sans carénage avec un look souvent très tendance.
-Les scrambler: un mixte entre un roadster et un trail, souvent un peu rétro.
-Les routières: moto carénée sans pour autant être sportive qui propose donc une protection intéressante pour de longue balade. La position est relativement droite ce qui permet un bon confort.
-Les néo-rétro: C'est la foire au néo-rétro en ce moment, il y a plein de modèle, ça ressemble aux années 60/70 mais avec des moteurs un poil plus récent.
-Les custom/choper: Une harley en plus petit. On trouve des motos vraiment super sympa, qui font même vraiment illusion. Attention tout de même, le bruit te trahit tout de suite
En revanche, les selles sont souvent basse, et les positions plutôt à la cool (très droite, poignée haute).
Pour la ballade pépère.
-Les sportives: Look d'enfer, mais comme les autres, 15ch maxi. Donc les perfs ne sont pas grandioses. Attention, les sportives ont souvent des positions de conduite vachement sur l'avant qui fatiguent vite les poignets.
-Les motos de plages: on trouve moins maintenant, mais il existe des modèles mythique comme le vanvan par exemple ou la TW. Moto cool avec de gros pneus. C'est pas performant, mais c'est pas le but.
Le mieux, imaginer l'usage que tu souhaites en avoir pour voir le type et ensuite regarder en terme de marque et modèle plus précisément.
La marque, vaste sujet encore.
Tu entendras beaucoup de gens ne jurer que par les japonaises.
Ce sont souvent des gens qui n'ont jamais rien vu d'autre (c'est pas une critique et les japonaises sont de très bonnes motos).
Mais il n'y a pas que les japonais qui produisent de bonne moto.
J'ai eu pendant plusieurs années notamment des motos coréennes (Daelim) dont certainement la meilleure pétoire que j'ai eu (une Daelim Roadsport, même plutôt routière contrairement à ce qu'indique son nom) que je regrette d'avoir vendue.
Actuellement, j'ai une Zontes Scrambler, moto chinoise assez impressionnante en terme de finition, position de conduite, comportement et agrément. Concrètement, pour avoir essayé la concurrence chez Yam et Honda, à part pour le succès d'estime, elles n'ont pas grand chose de plus (enfin si, 2000 euros).
J'ai également conservé la première moto avec laquelle j'ai roulé, une Yam 125 dtmx (enduro 2 Temps donc).
Bref, cherche sur le net, renseignes toi auprès de gens qui possèdent vraiment les motos.
Voilà, désolé du pavé indigeste.
J'espère t'avoir un peu aidé.
