Curiosités mathématiques
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AJA que 0,99999... = 1
Et là il se peut que vous me disiez "oui ok, c'est quasiment égal à 1"
Sauf que non, aussi contre-intuitif que ça puisse paraitre, c'est mathématiquement rigoureux. Une réelle égalité.
Démonstration 1 :
0,99999.... = 3 x 0,33333...
0,99999.... = 3 x 1/3
0,99999.... = 1Démonstration 2 :
Soit x = 0,99999.....
10x = 9,99999....
10x = 9+x
10x-x = 9
9x = 9
x = 1 -
@peri
J'adore ce genre de truc!Je suis presque sûr qu'il y a une histoire de limite, genre 0.99999... tend vers 1 sans lui être parfaitement égal, mais on dit quand même qu'il y a égalité. Faudrait exprimer 0.99999... autrement pour en faire son étude.
Ça me rappelle un problème : si on remplit un verre à moitié, puis la moitié de sa moitié puis....donc :
1/2+1/4+1/8+...
=1/2¹+1/2²+1/2³+...+1/2^nBen le verre ne se remplit jamais complètement mais tend vers un nombre fini quand n tend vers l'infini.
Ici on pourrait faire un truc du genre :
0.99999... = 9/10+9/100+9/1000+...
= 9/10¹+9/10²+9/10³+....9/10^nEt en étudiant la limite de cette suite, pour sûr ça tendrait vers 1!
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@jool a dit dans [AJA] Aujourd'hui j'ai appris :
Je suis presque sûr qu'il y a une histoire de limite, genre 0.99999... tend vers 1
Alors, je suis au regret de te dire que tu te trompes. Ce qui est étonnant, c'est que @Peri a fourni deux démonstrations parfaitement rigoureuses pour démontrer qu'il y a bien une égalité exacte entre les deux termes, mais elles ne t'ont pourtant pas convaincu. Si tu les relis attentivement, tu verras qu'elles ne comportent aucune faille ni astuce piégeuse, et tu ne pourras donc pas nier que le résultat est indéniable ("inéluctable" aurait dit Thanos).
Quand tu parles de limite, je suppose que tu fais allusion à la suite de nombres décimaux dont la représentation est 0,9 - 0,99 - 0,999 - 0,9999 - et ainsi de suite... Dans ce cas, effectivement, on a une infinité de termes tous différents, qui sont tous strictement inférieurs à 1, et dont la limite est 1. Mais c'est très différents, car tu te cantonnes à des nombres dont la représentation comporte un nombre fini de chiffres.
Par contre, ce dont parle @Peri , c'est d'un nombre dont la représentation décimale est infinie (d'où la présence des points de suspension dans son écriture). On peut noter ce nombre "0.99999..." ou parfois "0.[9]" (je note entre crochet le ou les nombres qui se répètent à l'infini).
Même si le concept même de nombres à la représentation est infinie peut paraître étrange, on peut en trouver beaucoup d'exemples assez courants :
1/3 = 0,333333... = 0,[3]
-1/11 = -0,09090909... = -0,[09]
pi = 3,14159269.... (celui là n'est pas périodique, et ne peut donc pas être représenté avec des crochets)Ce qu'il faut comprendre, c'est qu'un nombre n'est pas la même chose que la représentation de ce nombre. Ainsi "un tiers" est la représentation en langage courant d'un nombre réel, qui a "1/3" en représentation algébrique et "0,33333..." en représentation décimale.
Le fait qu'on ait 2 représentations décimales différentes ("1" et "0,9999...") pour un même nombre (le "un") est peut-être effectivement contre-intuitive, mais finalement pas si étonnante que cela.
Par exemple, ca ne choque personne que "0" et "-0" soient deux représentations décimales différentes d'un même nombre (le zéro), n'est-ce pas ?
Si ca intéresse des gens, je créerais bien un topic dédié aux curiosités mathématiques du même style. J'ai passé ma jeunesse a les collectionner...
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Quand je parle de limite, je parle de la définition mathématique : En analyse mathématique, la notion de limite décrit l’approximation des valeurs d'une suite lorsque l'indice tend vers l’infini
Ce genre de truc qu'on voit vers la terminale ;
Donc je suis d'accord avec le fait que 1 est une approximation de 0.99999... (ou 0.[9] qui est plus élégant), ou une représentation, mais pas une égalité.
0.[9] ~ 1, là je suis content.Mais si on dit que
1 = 0.99999...
Alors
1 - 0.99999... = 0
0.0000.....1 = 0
Ben non, il peut y avoir une infinité de zéros, il y aura toujours un 1 final, qui n'est donc pas égale à 0, même infiniment proche.
Je pense qu'il y a un problème de termes ici, représentation, égalité, approximation, et qu'on ne tombe pas d'accord.
Et je suis pour ton sujet !
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@jool a dit dans [AJA] Aujourd'hui j'ai appris :
Mais si on dit que
1 = 0.99999...
Alors
1 - 0.99999... = 0
0.0000.....1 = 0
Ben non, il peut y avoir une infinité de zéros, il y aura toujours un 1 final, qui n'est donc pas égale à 0, même infiniment proche.
Non, c'est là où tu te gourres, car le 1 "final" sera après le dernier "0".
Or, il y a une infinité de "0".
Tu ne peux pas mettre de 1 final, car il n'y a pas de "final"
Et si tu essayais de reprendre une des deux démonstrations de @Peri et tenter de chercher à quel endroit il y a une faille, et expliquer pourquoi ? (car si ce que tu dis es vrai, qu'il n'y a pas d'égalité, alors elles sont toutes les deux fausses)
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@orabig a dit dans [AJA] Aujourd'hui j'ai appris :
@jool a dit dans [AJA] Aujourd'hui j'ai appris :
Non, c'est là où tu te gourres, car le 1 "final" sera après le dernier "0".
Or, il y a une infinité de "0".
Tu ne peux pas mettre de 1 final, car il n'y a pas de "final"Alors je l'écris comme ça :
0.[0]1
Et si tu essayais de reprendre une des deux démonstrations de @Peri et tenter de chercher à quel endroit il y a une faille, et expliquer pourquoi ? (car si ce que tu dis es vrai, qu'il n'y a pas d'égalité, alors elles sont toutes les deux fausses)
Dans la première, ce qui me dérange c'est de dire :
1/3 = 0.33333....
1/3 ~ 0.33333.... puisque c'est infiniDans la deuxième, que x soit égal à un nombre infini.
Les deux cas proposent un raccourci qui ne me semble pas logiquement acceptable.
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@jool a dit dans [AJA] Aujourd'hui j'ai appris :
Alors je l'écris comme ça :
0.[0]1
Mais t'as pas le droit du tout !!
Tu peux pas ajouter un chiffre après une série infinie.Dans "infini", y a "qui ne se fini pas" : tu n'as pas l'impression que c'est incompatible avec ta notion de "1 final" ?
Je crois que t'es en train de me troller et de me faire croire que tu crois à ce que tu dis.1/3 ~ 0.33333.... puisque c'est infini
Heu, c'est quoi cet argument ?
Je pourrai tout aussi dire "Les poussins sont bleus, puisqu'ils ont des pattes". Quel est le rapport ?(bon, on est surement en train de pourrir le fil AJA. Nos admins chéris ( @Hornet , @Shanna ) , c'est possible de déplacer notre débat dans un thread dédié ?)
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Scindio topica !
People Always Look Better in the Sun
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@orabig J'ai 11 ans gros dégoutant !
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Rien à avoir avec le message original, mais je suis tombé sur une énigme math, dont je n'arrive pas à comprendre comment la résoudre, si vous avez la solution...
3 personnes achètent une TV à 300€, à part égale.
Ils partent du magasin, et le vendeur se rend compte qu'elle coutait 250€.
Il prend 50€, il court pour leur apporter, mais sur le chemin, il décide de piquer 20€.
Il donne donc 30€ aux personnes, soit 10€ chacun.
Partant de là, ca veut dire que des 100€ qu'ils ont mis (chacun) dans la TV, cela revient donc à (100 - 10) 90€ chacun.
Sauf que, si on fait 90 x 3, ça fait 270€.
Si on ajoute les 20€ piqués par le vendeur, ça fait 290€.
Dans ce cas, ou sont les 10€ manquants des 300€ du début ?Cette énigme me casse la tête depuis 2/3 jours, elle est probablement simple, mais j'y arrive pas, ou je suis très c**
Arthour !… Couhillère !
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Hornet a dit dans Curiosités mathématiques :
J'ai 11 ans gros dégoutant !
Oui, mais je vois dans le futur, j'anticipe...
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@cuillère a dit dans Curiosités mathématiques :
Cette énigme me casse la tête depuis 2/3 jours, elle est probablement simple, mais j'y arrive pas, ou je suis très c**
L'erreur, c'est que le calcul qu'on te fait faire est faux, car ca n'a aucun sens d'ajouter aux 270€ (3x90€) qu'ont déboursés les personnes aux 20€ piqués par le vendeur.
Au contraire, il faut les soustraire ces 20€ (car le vendeur leur a bien volé cette somme sur l'argent qu'ils sont dépensés)
Et donc, 270€ - 20€ = 250€, ce qui tombe bien sur le prix de la télé...
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Bon, merci à vous 2 ! Je me coucherai mon bête
